Potenze

Definizione

La potenza è il prodotto di un numero, detto base, tante volte quante sono indicate da un altro numero, detto esponente.

Come si scrivono

In una potenza, l’esponente è rappresentato come apice a destra della base. In altre parole, l’esponente viene scritto a destra in piccolo (circa la metà rispetto alla base) e posizionato in alto rispetto alla base.

Come si leggono

Una potenza si legge come: [base] alla [numero ordinale associato all’esponente].

\[2^{2}\] \[2^{3}\] \[3^{2}\]

Le potenze elencate si leggono come: due alla seconda, due alla terza, tre alla seconda, etc.

Nota: “due alla seconda” è l’abbreviazione di “due elevato alla seconda”.

Le potenze con esponente 2 e 3 si possono leggere anche come “due elevato al quadrato”, “due elevato al cubo”.

Come si calcolano

La potenza non è altro che una moltiplicazione ripetuta. Prendiamo in considerazione questa semplice potenza

\[2^{3}\]

In questa potenza, il numero 2 è la base, il numero 3 è esponente.

Per calcolare una potenza dobbiamo moltiplicare la base (2) tante volte quante sono indicate dall’esponente (3).

\[2 \times 2 \times 2 = 8\]

Il risultato è 8.

Eseguiamo passaggio per passaggio

\[\underbrace{2 \times 2}_{4} \times 2 = 4 \times 2 = 8\]

Esempio guidato

Proviamo ad eseguire
\[2^{4}\]

• Primo passaggio, individuare la base, che è 2
• Secondo passaggio, individuare l’esponente, quel numero scritto in piccolo a destra della base. In questo caso è 4
• Dobbiamo moltiplicare la base (2) tante volte quanto ci indica l’esponente (4). Per le prime volte è meglio prendere carta e penna e scrivere l’intera moltiplicazione, in seguito le operazioni ci verranno più semplici e potremo eseguire i calcoli a mente

Scriviamo quindi la moltiplicazione completa

\[2 \times 2 \times 2 \times 2\]

Per controllare se la moltiplicazione è corretta basta contare quante volte è presente il numero 2. É presente 4 volte, esattamente quante volte ci ha indicato l’esponente.

Procediamo passaggio per passaggio

\[2\times 2\times 2\times 2 =\\ 4\times 2\times 2 =\\8 \times 2=16\]

Il risultato è 16.

Elenchiamo di seguito esempi di potenze già svolte

\[2^{5} = 32\] \[3^{2} = 9\] \[3^{3} = 27\] \[4^{2} = 16\] \[5^{2} = 25\]

Casi particolari

E se l’esponente è 1? In questo caso la base rimane invariata.

\[2^{1} = 2\]

2 elevato alla 1 è uguale 2.

E se l’esponente è 0? L’esponente 0 rientra tra i casi particolari da studiare.

\[2^{0} = 1\]

Un qualsiasi numero, che sia diverso da zero, elevato alla zero dà come risultato 1.

Prestiamo attenzione all’eccezione

\[0^{0}\]

Zero elevato alla zero è una quantità non definita ovvero non ha un risultato.

E se la base è zero? Zero elevato a qualsiasi numero, che sia diverso da zero, dà come risultato 0.

\[0^{2} = 0\] \[0^{3} = 0\]

Base negativa

In caso di base negativa seguiamo questa regola: se l’esponente è pari, il risultato ha sempre segno positivo, se l’esponente è dispari, il risultato ha sempre segno negativo.

\[(-2)^3\]

Quando la base presenta segno negativo va racchiusa tra parentesi.

Eseguiamo la moltiplicazione

\[(-2) \times (-2) \times (-2) =\\4 \times (-2) = -8\]

Il risultato è -8.

\[(-2)^3 = -8\]

Tenendo a mente la regola, se l’esponente è negativo il risultato è sempre negativo, dunque potremmo ignorare inizialmente il segno ed applicarlo solo alla fine

\[-(2 \times 2 \times 2)=-(8) =-8\]

Ora proviamo con esponente pari.

\[(-2)^2 =(-2)\times (-2) = 4\] \[(-2)^2 = 4\]

La regola del segno deriva direttamente dalla regola dei segni della moltiplicazione riassumibile così: “più per più uguale più”, “più per meno uguale meno”, “meno per meno uguale più”.

Potenza di frazione

La regola generale vale anche per le frazioni, per calcolare la potenza di frazione si può moltiplicare la frazione stessa tante volte quante sono indicate dall’esponente.

\[\left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{8}{27}\]

Che equivale ad elevare all’esponente sia il numeratore che il denominatore.

Dunque possiamo dire che per calcolare la potenza di una frazione si elevano all’esponente sia il numeratore che il denominatore.

\[\left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{2^{3}}{3^{3}} = \frac{8}{27}\]

In caso di segno negativo della frazione, si segue la stessa regola dei numeri interi. Se l’esponente è pari, il segno della frazione è positivo, se l’esponente è dispari, il segno della frazione è negativo.

Con esponente dispari.

\[\left(-\frac{2}{3}\right)^{3} =-\frac{2^{3}}{3^{3}} = -\frac{8}{27}\]

Con esponente pari.

\[\left(-\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{2^{3}}{3^{3}} = \frac{8}{27}\]

Esponente negativo

In caso di esponente negativo è necessario “ribaltare” la base, ovvero scambiare numeratore e denominatore, e scrivere l’esponente con segno positivo.

Esempio:

\[\left(\frac{5}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{5}\right)^{2}\]

In caso di numeri interi

\[2^{-3}\]

La frazione risultante sarà

\[2^{-3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\]

Poichè il numeratore è 2, mentre il denominatore implicito (che non viene scritto) è 1.