Criteri di divisibilità

I criteri di divisibilità sono un insieme di regole che ci permettono di stabilire, senza eseguire la divisione, se un numero dato è divisibile per un altro numero come 2, 5, 10, etc.

Queste regole consistono in una serie di operazioni da effettuare sulle cifre che compongono il numero. Esistono numerosi criteri di divisibilità, in questa lezione tratteremo quelli più semplici ed usati.

Divisibilità per 2

Un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari (0, 2, 4, 6, 8).

La regola appena enunciata divide inoltre i numeri in due categorie: i numeri pari (divisibili per 2) ed i numeri dispari (che non lo sono).

Sono divisibili per 2: 18, 156, 3406.

Non sono divisibili per 2: 11, 27, 139, 2453

Divisibilità per 3

Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un numero divisibile per 3.

Verifichiamo se 384 è divisibile per 3 sommando tutte le sue cifre

\[3+8+4 = 15\]

15 è divisibile per 3 (ovvero multiplo di 3) dunque 384 è divisibile per 3.

In caso in cui il numero ottenuto sia superiore a 9 è possibile applicare nuovamente la regola. Vediamo un esempio con 2484.

\[2 + 4 + 8 + 4 = 18\]

Applichiamo nuovamente la regola su 18

\[1+8=9\]

Il numero ottenuto 9 è divisibile per 3.

Divisibilità per 4

Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre formano un numero divisibile per 4, oppure se queste due cifre sono due zeri.

Le ultime due cifre del numero 2516 formano 16, un numero divisibile per 4, dunque anche 2516 è divisibile per 4.

Divisibilità per 5

Un numero è divisibile per 5 se termina con 0 (zero) o 5.

Alcuni esempi sono: 10, 25, 1255, 3400

Divisibilità per 25

Un numero è divisibile per 25 se le ultime due cifre formano un numero divisibile per 25, oppure se sono due zeri.

Alcuni esempi sono: 450 (50 è divisibile per 25), 1300, 2275

Divisibilità per 10, 100, 1000

Un numero è divisibile per 10, 100, 1000… e così via (contiamo il numero di zeri) se termina rispettivamente con uno, due, tre zeri… etc.

Questa regola è particolarmente semplice, dovremo solo contare il numero di zeri alla fine del numero: 80 è divisibile per 10, 1300 è divisibile per 100, 15000 è divisibile per 1000, etc.

Divisibilità per 9

Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è un numero divisibile per 9

Esempi di numeri divisibili per 9 sono:

108

\[1+0+8=9\]

7983

\[7+9+8+3=27=2+7=9\]

Anche questa regola può essere applicata nuovamente, come nell’ultimo esempio.

Divisibilità per 11

La regola di divisibilità per il numero 11 è più complessa rispetto a quelle finora descritte.

Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è divisibile per 11 oppure è zero.

Consideriamo 3916 e sommiamo prima le cifre di posto pari (9+6), poi sommiamo le cifre di posto dispari (3+1). Infine eseguiamo la differenza tra queste due somme:

\[(9+6) – (3+1) = 15 – 4 = 11\]

Otteniamo esattamente 11 che è divisibile per 11.

Consideriamo 13200

\[(3+0) – (1+2+0) = 3 – 3 = 0\]

Il risultato è zero e possiamo dire che 13200 è divisibile per 11.

A conclusione della lezione, non dimentichiamoci che tutti i numeri sono divisibili per 1!