Proprietà associativa

La proprietà associativa è una proprietà algebrica che vale per l’addizione e la sottrazione.

Definizione

La definizione della proprietà associativa è la seguente.

In un’addizione con più addendi è possibile sostituire addendi consecutivi con la loro somma, in una moltiplicazione con più fattori è possibile sostituire fattori consecutivi con il loro prodotto.

Quando si applica

La proprietà associativa vale soltanto per l’addizione e la moltiplicazione. La sottrazione e la divisione infatti non godono di questa proprietà.

Esempio di addizione

Consideriamo la seguente somma

$$10+5+3$$

Eseguendo la somma otteniamo

$$10+5+3=18$$

É possibile sfruttare la proprietà associativa per associare due termini, ovvero sostituire ai primi due termini il risultato della loro somma, e poi aggiungere il terzo.

$$\underbrace{10+5}_{15}+3=15+3=18$$

Il risultato non è cambiato. Allo stesso modo è possibile associare gli ultimi due termini

$$10+\underbrace{5+3}_{8}=10+8= 18$$

Ora consideriamo la seguente sottrazione

$$10-5-3=2$$

Proviamo ad associare due termini.

$$10-\underbrace{5-3}_{2}=10-2=8$$

Il risultato è cambiato, non è più 2 ma 8. Questo perchè la proprietà associativa non vale per la sottrazione.

Esempio di moltiplicazione

Consideriamo la seguente moltiplicazione

$$2 \times 3 \times 5 = 30$$

É possibile associare due termini ovvero sostituire ai primi due termini il risultato del loro prodotto, e poi moltiplicare per il terzo.

$$\underbrace{2 \times 3}_{6} \times 5= 6 \times 5 = 30$$

Possiamo anche associare gli ultimi due termini.

$$2 \times\underbrace{3 \times 5}_{15} = 2 \times 15 = 30$$

In entrambi i casi il risultato non è cambiato perchè la moltiplicazione gode della proprietà associativa.

Consideriamo una divisione.

$$16:8:2=1$$

Proviamo ad associare due termini.

$$16 :\underbrace{8:2}_{4} =16:4=4$$

Il risultato è cambiato, non è più 1 ma 4. La proprietà associativa non vale per la divisione.

Altri casi

É possibile associare anche più di due termini alla volta.

$$10 \times 2\times 3 \times 4 = 240$$ $$10 \times\underbrace{ 2\times 3 \times 4}_{24} =10 \times 24 = 240$$

Quando è utile

La proprietà associativa è utile, ad esempio, per eseguire calcoli mentali rapidamente.

Consideriamo la seguente moltiplicazione

$$4 \times 3 \times 5 \times 2$$

Riuscite velocemente a calcolare il risultato? Scriviamola in altro modo.

$$\underbrace{4 \times 3}_{12} \times \underbrace{5 \times 2}_{10} =12\times 10=120$$

Come potete vedere, poichè il prodotto degli ultimi due termini è 100, il calcolo si semplifica notevolmente.