Proprietà commutativa

La proprietà commutativa è una proprietà algebrica che vale per l’addizione e la sottrazione.

Definizione

La definizione della proprietà commutativa è la seguente.

In un’addizione o in una moltiplicazione cambiando l’ordine degli addendi – o dei fattori – il risultato non cambia.

Quando si applica

La proprietà commutativa vale soltanto per l’addizione e la moltiplicazione. La sottrazione e la divisione infatti non godono di questa proprietà.

Facciamo degli esempi pratici.

Mario è una persona che può fare un passo alla volta in avanti o indietro.  Mario parte dalla posizione zero.

Questi sono i passi che Mario dovrà fare

\[2+1+3\]

Dunque 2 passi in avanti, 1 ancora in avanti, 3 in avanti. Mario si troverà alla fine alla posizione 6.

Cambiamo l’ordine dei numeri.

\[1+3+2\]

Mario dovrà andare soltanto avanti, quindi potrà compiere prima 1 singolo passo, poi i 3 passi, infine altri 2 passi. Non è importante l’ordine in cui eseguirà queste azioni perchè giungerà sempre alla posizione 6.

A Mario viene chiesta una nuova istruzione. Mario partirà nuovamente dalla posizione zero.

\[2-5+3\]

In questo 2 passi in avanti, 5 indietro, 3 in avanti.

Eseguendo questa istruzione Mario farà 2 passi in avanti, arrivando alla posizione 2, 5 indietro, arrivando alla posizione -3, infine altri 3 passi, tornando alla posizione 0 (zero).

Cambiamo l’ordine dei numeri.

\[5-2+3\]

Mario fa 5 passi in avanti, arrivando alla posizione 5, 2 passi indietro arrivando alla posizione 3, e 3 passi in avanti. Con sua sorpresa Mario arriva alla posizione 6.

Questi esempi ci permettono di capire che è possibile cambiare l’ordine degli addendi di una addizione, ma lo stesso non vale per la sottrazione.

Di seguito elenchiamo altri esempi, questa volta puramente matematici, per capire meglio.

Prendiamo in considerazione due numeri come 8 e 2.

\[8 + 2 =10\] \[2 + 8 = 10\]

Anche se li scambiamo, il risultato non cambia.

Ora invece eseguiamo una sottrazione

\[8-2 = 6\] \[2-8 =-6\]

In questo caso il risultato è cambiato, non è 6 ma -6 (segno meno davanti). La proprietà commutativa non vale per le sottrazione.

Esempio con la moltiplicazione.

\[8 \times 2=16\] \[2 \times  8=16\]

Il risultato rimane 16.

Ora procediamo con la divisione.

\[8:2=4\] \[2:8=0,25\]

Il risultato è cambiato, dunque la proprietà commutativa non vale per le divisione.

Quando è utile

La proprietà commutativa è utile, ad esempio, per svolgere dei calcoli mentali più rapidamente.

Prendiamo in considerazione la seguente espressione

\[11+7+9+3\]

Calcolare il risultato seguendo l’ordine degli addendi non è così immediato. Ma se cambiamo l’ordine possiamo facilitare il calcolo.

\[11+9+3+7\]

In questo modo eseguiamo prima

\[11+9=20\]

e poi il resto.

Il risultato è dunque

\[11+9+3+7=30\]